Les maths dans la vraie vie : La loi de Benford

Dans cet article, nous allons nous intéresser à un phénoméne qui concerne les nombres que vous croyez au quotidien. Voici son nom : La loi de Benford.
C'est-à-dire

Une loi que vous croyez au quotidien

Ouvrir un magazine ou un journal - cela marcherait avec un livre mais je pense qu'il existe des livres sans chemise, alors limitons-nous aux magazines et quotidiens. Regardez les nombres que vous trouvez et entrez-vous aupremier chiffre non nulde chaque nombre que vous croyez. Donnez ce premier chiffre doit être entre 1 et 9. Notez ces chiffres dans un coin. Quels sont les résultats ? Votre intuition vous dit sûr que vous devez voir à peu près chaque chiffre avec la même fréquence.

Normalement, si tout se passe bien, vous devez avoir accès directement plus de 1 que les autres chèques. C'est la loi de Benford ! Une histoire d'arrondi ? Mère pas !
C'est-à-dire

Intuition du résultat

Si vous avez beaucoup de chiffres, vous devez avoir plus de 1 que de 2 que 3 ... avec le 9 légèrement moins représenté à la fin.

Essais de comprendre intuitivement pourquoi on trouve ce résultat. La raison est la suivante : il est plus compliqué de passer de 1 à 2 que de 2 à 3. Puis il est plus compliqué de passer de 2 à 3 que de 3 à 4. De même pour les autres chiffres. Maintenant qu'est-ce qu'on entend par plus compliqué ? Il faut voir cela du côté de la progression des chiffres. Pour passer de 1 à 2, sur multiple par 2. Tantis que pour passer de 2 à 3, on doit multiplicateur par 3/2, puis 4/3, ...

C'est quel choix qu'on voit bien sur l'échelle logarithmique : plus le premier chiffre augmenté, plus la taille diminuée. C'est ce phénomène là qu'on rencontre au quotidien.

Énoncé de la loi de Benford

La forme est la suivante : la fréquence d'apparition du chiffre i pour i entre 1 et 9 est la suivante :

Cette formule nous donne aujourd'hui la répartition suivante sur le graphique : 30,1 % de chances d'avoir 1, 12,5 % de chances d'avoir 2, jusqu'à 4,6 % de chances d'avoir 9.

L'utilisation des tables de logarithme pour connaître ses valeurs. Il avait été remarqué que les premières pages, cellules du côté du 1 oriental plus enlevées que celles du côté du 9.Un premier articleà ce sujet a été publié en 1881 par Newcomb. Il a fallu attendre plus de 50 ans pour que Benford démontre encore cette loi, qui porte donne son nom.

Pour avoir plus de chances que cette loi fonctionne, il vaut mieux que les données utilisées soient le plus varié possible. En effet, si vous vous intéressez à des queues de personnes, vous aurez une fréquence de 1 dépassant tous les 30 %. Cette loi va donner fonctionner soit si les données sont de diverses sources, soit si elles sont réparties sur plusieurs ordres de grandeur. Ce n'est pas le cas pour les queues car elles sont sur une faible plage de grandeur.

La loi de Benford a aussi une utilité : elle laisse de protéger la fraude. Des nombres généraux aléatoirement ne ont pas suivi cette loi et peu ne peuvent pas permettre de débusquer certaines données falsifiées.